发布时间：2022-04-30 点击量：848次

独立思考:

已知a∊R，函数 $f%5Cleft%28%20x%20%5Cright%29%3D%5Cleft%7C%20x%2B%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D-a%20%5Cright%7C%2Ba$ 在区间 $%5Cleft%5B%201%2C4%20%5Cright%5D$ 上的最大值是5，则a的取值范围是____

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因为 $x%5Cin%20%5Cleft%5B%201%2C4%20%5Cright%5D$ ，所以x+ $%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D$ ∈[4,5]，

① $a%5Cgeqslant%205$ 时

$f%5Cleft%28%20x%20%5Cright%29%3Da-x-%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D%2Ba%3D2a-x-%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D%5Cleqslant%202a-2%5Csqrt%7Bx%5Ctimes%20%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D%7D%3D2a-4$ ，

所以f(x)的最大值 $2a-4%3D5$ ，即 $a%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D$ (舍去)

②当 $a%5Cleqslant%204$ 时， $f%5Cleft%28%20x%20%5Cright%29%3Dx%2B%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D-a%2Ba%3Dx%2B%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D%5Cleqslant%205$ ，此时命题成立.

③当 $4%20%3C%20a%20%3C%205$ 时， $f%5Cleft%28%20x%20%5Cright%29%3D%5Cmax%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cleft%7C%204-a%20%5Cright%7C%2Ba%2C%5Cleft%7C%205-a%20%5Cright%7C%2Ba%20%5Cright%5C%7D$ ，则

$%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cleft%7C%204-a%20%5Cright%7C%2Ba%5Cgeqslant%20%5Cleft%7C%205-a%20%5Cright%7C%2Ba%20%5C%5C%20%5Cleft%7C%204-a%20%5Cright%7C%2Ba%3D5%20%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.$ 或 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cleft%7C%204-a%20%5Cright%7C%2Ba%20%3C%20%5Cleft%7C%205-a%20%5Cright%7C%2Ba%20%5C%5C%20%5Cleft%7C%205-a%20%5Cright%7C%2Ba%3D5%20%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.$

解得a= $%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D$ 或a< $%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D$ ，

综上可得，实数a的取值范围是(-∞, $%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D$ ]

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